Свободное падение первоначально покоящегося тела

Опыт показывает, что вблизи поверхности планеты все тела (при условии отсутствия их взаимодействия с атмосферой и другими объектами, за исключением самой планеты) приобретают одинаковое ускорение, называемое ускорением свободного падения.

Вблизи поверхности Земли это ускорение имеет величину, равную:

В соответствии со вторым законом Ньютона, это означает, что вблизи поверхности планеты на любой тело действует постоянная сила, величина которой пропорциональна инертной массе тела

Именно эта сила, называемая силой тяжести, сообщает всем телам одинаковые ускорения

На примере движения тел под действием этой силы удобно познакомиться с общими свойствами равноускоренного движения. Простейшей является ситуация, при которой тело в начальный момент покоилось. В этом случае:

Скорость пропорциональна времени движения тела,

а координата изменяется пропорционально квадрату времени

В случае, если координатная ось направлена вертикально вверх, уравнения (4-5) превращаются в скалярные:

В случае первоначально покоившегося тела, движущегося с постоянным ускорением, его средняя скорость оказывается равной половине конечной, а отрезки путей, проходимых за равные интервалы времени, относятся как последовательные нечетные числа:

Все перечисленные свойства могут быть выведены из общих формул движения вблизи поверхности Земли тела, брошенного под углом к горизонту.

Учет наличия трения об атмосферу существенно изменяет сформулированные результаты. При наличии трения падающие тела имеют ускорение, равное g, только в начальный момент движения. По мере увеличения скорости ускорение уменьшается, движение тела стремится к равномерному.

При свободном падении все тела приобретают одинаковые ускорения g.


Координата зависит от врмени по квадратичному закону.


При наличии атмосферы движение падающих тел стремится к равномерному.


Сила тяжести

Вблизи поверхности Земли на все тела действует сила тяжести, равная произведению массы тела на ускорение свободного падения.

В данной демонстрации яблоки имеют массы по 50 кг, а гири - вдвое большие - по 100 кг. Для определения величин действующих на тела сил тяжести, тела подвешены к опорам при помощи пружин одинаковой жесткости. Как видно, сила тяжести, действующая на гирю, вдвое больше силы, действующей на яблоко. Сила тяжести, действующая на гирю с привязанным яблоком, равна сумме сил тяжести, действующих на гирю и яблоко в отдельности.

Изменяя массу яблока, подвешенного к неподвижной опоре, убедитесь в том, что действующая на него сила тяжести действительно пропорциональна массе тела (о величине силы можно судить по деформации пружины). Попытайтесь найти такое значение масы яблока, при котором оно остановится на одной высоте с гирей.

Почему величина деформации пружины, удерживающей гирю с привязанным к ней яблоком, равна сумме деформаций пружин, удерживающих гирю и яблоко в отдельности? Где окажется вторая гиря, если от нее отсоединить яблоко (сделать массу яблока очень маленькой) ? Проверьте Вашу гипотезу на компьютерном эксперименте.


Ускорение свободного падения

Вблизи поверхности Земли все свободно падающие тела, независимо от их массы, приобретают одинаковое ускорение. Если тело вначале покоилось, то его скорость оказывается пропорциональной времени падения.Падающие с одинаковой высоты тела достигают поверхности Земли, обладая одинаковыми скоростями.

Для простоты в данной демонстрации величина ускорения свободного падения сделана равной g'=1м/с2. Как изменится график v(t) , если в качестве g взять реальное для Земли значение? Ваш ответ проверьте на компьютерном эксперименте. Для этого придется подумать, как нужно переопределить силу тяжести (Gravity) для того, чтобы ускорение свободного падения увеличилось в 9.8 раз.

Во время падения тел измените величину ускорения свободного падения. Каким образом "откликнется" на Ваши действия график зависимости v(t) ?

Обратите внимание на яблоко и гирю, соединенные между собой пружиной, длина которой равна начальному расстоянию между телами. За время падения тел пружина так и остается недеформированной, поскольку скорости яблока и гири остаются все время равными друг другу. Слегка измените начальные положения связанных тел так, чтобы пружина деформировалась. В этом случае связанная пара будет падать с таким же ускорением, но составляющие ее тела при этом начнут совершать колебания.


Зависимость координаты от времени

При свободном падении покоившихся на заданной высоте тел их координаты изменяются во времени по квадратичному закону. Графиком z(t) является парабола, касательная к которой в начальной точке направлена горизонтально. Вопреки до сих пор еще встречающемуся мнению, при отсутствии сопротивления воздуха время падения тел с различной массой с заданной высоты оказывается одинаковым.

Как изменится время свободного падения тел, покоившихся на заданной высоте, если ускорение свободного падения увеличить в 9 раз?  (В данной демонстрации время падения тела удобно отмерять на отрезке траектории от начальной точки до пересечения с уровнем Rz=0 ).
Изменяя ускорение свобдного падения во время движения тела, пронаблюдайте, как "откликнутся" на Ваши действия графики зависимости координат от времени.


Средняя скорость при свободном падении

В случае неравномерного движения средней скоростью на заданном интервале времени можно назвать такую постоянную скорость, при движении с которой на данном интервале времени перемещение тела окажется точно таким же, как и в рассматриваемом случае неравномерного движения. В предлагаемой демонстрации летающая тарелка движется с постоянной скоростью, равной средней скорости свободно падающего камня. Как видно, эта скорость в два раза превышает конечную скорость свободно падающего тела.

В данной задаче постоянная скорость спуска второй летающей тарелки (NLO_2) увеличена в 2 раза. Как нужно изменить величину ускорения свободного падения для того, чтобы средняя скорость камня оказалась равной скорости  второй летающей тарелки?


Отрезки путей, проходимых за равные промежутки времени

Рядом со свободно падающим телом летит объект (NLO) постоянная скорость снижения которого через каждые 10 секунд полета изменяется так, что выполняется соотношение V1:V2:V3:…=1:3:5:… . При этом оказывается, что в каждый момент изменения скорости NLO его высота над Землей точно совпадает с высотой свободно падающего тела. Это означает, что на каждом из отрезков времени длительностью в 10с скорость NLO совпадает со средней скоростью свободно падающего тела. Т.о. отрезки путей , проходимых свободно падающим телом за одинаковые интервалы времени относятся как 1:3:5:… .

Постарайтесь понять, как задается скорость движения NLO в предшествующей компьютерной демонстрации, и попытайтесь в предлагаемом примере переопределить скорость движения NLO так, чтобы через каждые полета ее высота над планетой совпадала с высотой свободно падающего тела. Ускорения свободного падения в данной демонстрации имеет величину g=4.


Падение тел в атмосфере

При наличии атмосферы падающие тела помимо силы тяжести испытывают воздействие сил вязкого трения о воздух. В грубом приближении при малых скоростях силу вязкого трения можно считать пропорциональной скорости движения. В этом случае уравнение движения тела (второй закон Ньютона) имеет вид

Соответствующее ему дифференциальное уравнение

имеет решение

,

при больших временах описывающему движение с постоянной скоростью. При прочих равных условиях эта постоянная скорость оказывается пропорциональной массе тела. В результате при наличии атмосферы более массивные тела действительно падают на землю быстрее, чем легкие.

Изучите, как изменяется вид графиков зависимостей vz(t) при изменении коэффициента вязкого трения (объект Viscose) и ускорения свободного падения (объект Gravity).

Измените величину ускорения свободного падения (например, в два раза). Как при этом нужно изменить коэффициент вязкого трения, чтобы падающие с большой высоты тела достигали поверхности планеты с теми же скоростями, что и до изменения параметров демонстрации?

Внимательно изучив графики зависимостей v(t) для тел, падающих в атмосфере, попытайтесь представить себе вид графиков z(t). Правильность ответа проверьте на численном эксперименте.

Для тел сферической формы коэффициент вязкого трения пропорционален квадрату их радиуса. Подумайте, как относятся скорости падения капель дождя заданных размеров. (Капли считать небольшими водяными шариками, плотность которых, как известно, постоянна).


Капли дождя на окне поезда

Сила вязкого трения, действующая на движущиеся с небольшими скоростями тела сферической формы примерно пропорциональна площади их поперечного сечения, т.е. квадрату радиуса тел:

.

Масса же сферического тела постоянной плотности пропорциональна его объему, т.е. кубу радиуса

.

В результате, согласно соотношению (10), установившиеся скорости падения капель дождя относятся между собой как радиусы этих капель

.

В данной демонстрации наличие Х-составляющей скорости падающих капель связана не с их собственным движением, а с движением наблюдателя, находящегося в вагоне поезда. В результате движения поезда падающие капли оставляют на стекле не вертикальные, а наклонные следы. Угол наклона тем больше, чем больше размеры капли. Изменяя скорость поезда (параметр vx для всех капель одновременно), пронаблюдайте, как изменяются при этом следы капель дождя на стекле.


Вернуться
X